24 июля. День теоремы Пифагора

24 июля 2025 года — Международный день теоремы Пифагора, дата, случающаяся нечасто. Причем, этот международный день не отмечается в определенную, фиксированную дату. Он наступает тогда, когда сумма квадратов числа месяца и порядкового номера месяца равна квадрату года (без учета столетий). В последний раз этот замысловатый праздник отмечался 16 декабря 2020 года. А в следующий раз День теоремы Пифагора будет отмечаться 24 октября 2026 года и это будет последнее празднование дня теоремы Пифагора в этом столетии (следующее состоится аж 4 марта 2105 года). Этому требованию удовлетворяет и сегодняшняя дата.

Теорема Пифагора, более известная под названием «Пифагоровы штаны во все стороны равны…» (получившим особенную известность благодаря комической опере «Иванов Павел» о лентяе-гимназисте на слова, написанные театральными режиссёрами Сергеем Михайловичем Надеждиным и Виктором Романовичем Раппапортом, впервые поставленной в Троицком театре миниатюр в Петрограде 20 апреля 1915 г.) — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Считается, что теорема в том или ином виде была известна и другим древним цивилизациям. Так, по мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII в. до н.э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5* — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок». В древневавилонском тексте, относящемся ко времени Хаммурапи (XX в. до н.э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы. Голландский ученый-математик и историк математики Бартель Леендерт Ван-дер-Варден считал, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне между 2000 и 1786 гг. до н.э., т.е. еще за тысячу лет до Пифагора, не умаляя при этом заслуг самого Пифагора**: «Заслугой греческого математика было не открытие теоремы, а лишь её обоснование. В руках Пифагора были рассчеты, основывавшиеся на предположениях, неточных вычислениях и смутных представлениях. Однако выдающемуся ученому удалось превратить их в точную науку». В древнекитайском математико-астрономическом трактате «Чжоу би суань цзин» (кит.周髀算經), относимому к V-III вв. до н.э. (временем создания произведения считается период от конца Чжаньго до начала Восточной Хань (III в. до н.э.-I в. н.э.), также есть мнение, что трактат содержит и более ранние материалы), также приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X-II вв. до н.э.) применению теоремы посвящена отдельная книга. Тем не менее, первое геометрическое доказательство теоремы приписывается древнегреческому философу и математику Пифагору Самосскому (570-490 до н.э.), чьи учения оказали сильное влияние на науку и нашли отклик в работах Николая Коперника, Иоганна Кеплера, Исаака Ньютона и Альберта Эйнштейна. Имеется свидетельство Прокла (412-485 н.э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков (о чем упоминал и немецкий поэт, публицист и критик позднего романтизма Христиан Иоганн Генрих Гейне: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам»)...

Диаграмма рассеяния катетов (a,b) пифагоровых троек с a и b не превосходящими 4500

* Группа чисел (3, 4, 5) является древнейшей и наиболее известной в развитых древних культурах пифагоровой тройкой, т.е. тройкой, удовлетворявшей условию a² + b² = c², что позволяло древним строить прямые углы. Витрувий считал эту тройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества, что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4, 5). В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей, но по сути, это та же самая пифагорова тройка, только с множителем 3. В древнем Египте пифагоров треугольник (3, 4, 5) стал известен не позднее правления фараона Хеопса; он обнаруживается при анализе погребальной камеры фараона в его пирамиде. Розовая пирамида фараона Снофру (XXVII в. до н.э.) предположительно построена с использованием треугольника (20, 21 и 29): половина длины ее основания оценивается в 210, а высота — в 200 царских локтей. В пирамиде жены фараона Тети, Ипут I (VI династия, XXIV в. до н.э.), был использован пифагоров треугольник (8, 15, 17). Использование этих трёх треугольников в пирамидах Древнего царства позволяет рассмотреть вопрос о знании теоремы Пифагора в Египте еще в III тысячелетии до н.э. Любая пара натуральных, взаимно простых чисел (m,n), где m>n, имеющих разную чётность, задаёт примитивную пифагорову тройку (m²−n²,2mn,m²+n²). Стоит так же сказать, что примитивные пифагоровы тройки в наше время тоже не утратили актуальности, они используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей.

Гимн пифагорейцев восходящему Солнцу, 1869, Фёдор Андреевич Бронников

** После обучения у египетских жрецов, обучивших его медицине и математике, а также допустили к запретным для чужеземцев мистериям, и пребывания 12 лет в плену (после того как в 525 г. до н.э. персидский царь Камбис завоевал Египет) в Вавилоне, где обучался у персидских магов, и даже самого Заратуштры, очистившего его от скверны и обучившего «законам природы и началам всего», финикийцы обучали его арифметике, а халдейские звездочёты — астрономии (Флавий Филострат II Старший (ок. 170-247) расширил географию легендарных путешествий Индией, а глава Сирийской школы неоплатонизма в Апамее Ямвлих (III-IV вв. н.э.) — племенами кельтов и иберов), в 60 лет Пифагор Самосский вернулся домой, чтобы поделиться своими знаниями с соотечественниками, однако из-за разногласий с тираном Поликратом был вынужден эмигрировать в Италию, где в полис Кротон и открыл собственную школу, в которой геометрия впервые выступила как самостоятельная наука. Пифагор, рассматривавший окружающий мир сквозь призму математических формул, включая природные и божественные явления, и первым назвавший вселенную космосом, то есть «прекрасным порядком», стал первым мыслителем, который по преданию на вопрос «Кто он таков?» ответил: «философ», то есть «любитель мудрости», и тем самым ввёл и понятие «философия». Предметом его учения был мир как стройное целое, подчиненное законам гармонии и числа. Жизнь для Пифагора была подобна игрищам: «Иные приходят на них состязаться, иные — торговать, а самые счастливые — смотреть; так и в жизни иные, подобные рабам, рождаются жадными до славы и наживы, между тем как философы — до единой только истины». Его школа, по своей сути напоминавшая монастырь (Ямвлих представлял «пифагорейский образ жизни» языческой альтернативой христианским монашеским общинам своего времени), была не только философской, но также политической и религиозной организацией, стремившейся оказать влияние на укрепление нравственных устоев государства. Весь мир, по мнению пифагорейцев, представляет собой стройное единство, подчиняющееся закону «гармонии сфер», неотъемлемой частью которой были прекрасная музыка, издаваемая всеми небесными телами при вращении и которую уже давно перестали слышать люди, и числа. Пифагорейцы верили в бессмертие человека, поклонялись всему живому на земле, особенно почитали всевидящее солнечное божество, устраивая ежедневные утренние церемонии, приветствуя песнопениями восход солнца, как божественный акт пробуждения Вселенной, а также практиковали вегетарианство по религиозным, этическим и аскетическим причинам, в частности, в связи с учением о переселении душ (метемпсихозом). Вслед за орфиками (мистическом религиозно-философском учении в Древней Греции и Фракии, связанном с именем легендарного героя древнегреческих мифов поэта-философа, певца и музыканта-лириста Орфея, основателя культовых обрядов орфических мистерий и данного учения) пифагорейцы (различные древние традиции считали, что пифагорейцы или сам Пифагор были авторами ранних орфических работ, в частности, греческий поэт и историк V в. до н.э. Ион Хиосский утверждал, что Пифагор приписал свои стихотворения Орфею, в то время, как более поздние философы утверждали, что Пифагор был посвященным орфизма) считали, что душа каждого человека двупола и в ней есть мужская и женская половины, которые зовутся Эротом и Психеей. Согласно традиции, последователи Пифагора делились на акусматиков («слушателей», или пифагористов) и математиков («учеников», или пифагорейцев). Акусматики имели дело с религиозными и ритуальными сторонами учения, математики — с исследованиями четырёх пифагорейских «матем»: арифметики, геометрии, гармоники и астрономии. Акусматики, строившие свою жизнь с помощью акусм-изречений Пифагора, по типу «Огонь ножом не разгребай; через весы не переступай; уходя не оглядывайся; обувь надевай сначала на правую ногу, а мой сначала левую», к которым они относились как к божественным предписаниям, и не стремившиеся к созданию чего-либо нового и развитию учения, считая мудрейшими тех, кто усвоил и может применять в повседневной жизни наибольшее количество подобных, приписываемых Пифагору, изречений, не считали математиков «настоящими пифагорейцами», и говорили, что те ведут своё начало от Гиппаса, изменившего исходной пифагорейской традиции, раскрывшего тайны непосвящённым и начавшим преподавание за плату. Основу последующего философского учения пифагорейцев составила категориальная пара противоположностей — предела и беспредельного. «Беспредельное» не может быть единым началом вещей; иначе ничто определённое, никакой «предел» не был бы мыслим. С другой стороны, и «предел» предполагает нечто такое, что определяется им. Отсюда следует вывод Филолая, что «природа, сущая в космосе, гармонически слажена из беспредельных и определяющих; так устроен и весь космос, и все, что в нём». После смерти Пифагора в храме муз Метапонта вражда против пифагорейского союза, поддерживавшего местную тиранию, усилилась во всех демократиях Великой Греции, и в середине V в. до н.э. разразилась катастрофой: в Кротоне многие пифагорейцы были убиты и сожжены в доме, где они собрались; разгром повторился и в других местах. Уцелевшие были вынуждены бежать, разнося с собой учение и мистерии своего союза. Эти мистерии дали союзу возможность существовать и тогда, когда он утратил своё прежнее политическое и философское значение. К концу V в. до н.э. политическое влияние пифагорейцев в Великой Греции возродилось: важнейшей фигурой стал Архит Тарентский, военачальник и государственный деятель. С IV в. до н.э. пифагорейство пришло в упадок, а его учение было поглощено платонизмом. Впрочем, в Средние века учение Пифагора, оказавшее сильнейшее воздействие на философию Платона, а через платонизм, сливаясь порой с христианским богословием, в первую очередь, моисеевой традиции, и каббалой, имело огромное влияние на западный эзотеризм, в том числе, масонов, иллюминатов и розенкрейцеров. Вольфганг Амадей Моцарт включил пифагорейский символизм в оперу 1791 г. «Волшебная флейта», а французский философ, писатель и политический деятель Пьер Сильвен Марешаль в сочинении «Les Voyages de Pythagore» («Путешествие Пифагора», 1799) утверждал, что все революционеры идейно являются «наследниками Пифагора» (впрочем, ему виднее, как-никак он был участником утопически-коммунистического «Заговора Равных» Гракха Бабёфа во время Директории — первой Французской республики по Конституции III года во время заключительного периода Великой Французской революции в 1795-1799 годах). Трансценденталисты, философско-литературное течение, сформированное в конце 1820-1830-х годов в Новой Англии (США) представителями радикальной интеллигенции бостонского «Трансцендентального клуба», считали античные жизнеописания Пифагора руководствами образцовой жизни. Видного представителя американского трансцендентализма Генри Дэвида Торо настолько впечатлили жизнеописание Пифагора Ямвлиха и «Золотые стихи», что свой главный труд «Уолден, или Жизнь в лесу» он наполнил идеями пифагореизма о гармонии сфер. Уже в ХХ в. Альберт Эйнштейн утверждал, что ученый может быть «платоником или пифагорейцем, поскольку он считает точку зрения логической простоты незаменимым и эффективным инструментом своего исследования».

"Стул невесты" из фильма "Приключения Электроника" (1980), которым Электроник-Сыроежкин сразил учителя математики Таратара (актёр Евгений Весник, на фото).

Существует множество вариантов (по крайней мере в научной литературе зафиксировано не менее 400, среди которых встречаются и экзотические, например, с помощью дифференциальных уравнений) доказательства теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему.

"<...>Пока Гусев рисовал на доске чертеж теоремы Пифагора, Таратар, чуть сгорбившись, заложив руки за спину, ходил вдоль рядов и заглядывал в тетради.
– Ну-с, – сказал он Гусеву, – ты кончил?
Макар кивнул.
– Все бы так, как он, начертили? – спросил Таратар у класса.
– Нет, – откликнулся Профессор.
– Пожалуйста, Корольков, подскажи.
– Надо еще провести диагональ в прямоугольнике.
– Правильно. Теперь, Гусев, доказывай.
Макар с грехом пополам, при поддержке Профессора, доказал теорему. Тяжело вздохнув, он сел на место. Профессор помог ему стряхнуть с куртки крошки мела.
Учитель опять обратился к классу:
– Это доказательство приведено в учебнике. Знает ли кто-нибудь другие?
Прежде чем Профессор успел поднять руку, Электроник встал:
– Я.
Таратар был чуть удивлен: Сыроежкин никогда не проявляет особой активности, а тут даже встал.
– Прошу, Сыроежкин, – сказал учитель.
– Я могу привести двадцать пять доказательств, – хрипло произнес Электроник.
Гул удивления пролетел над партами.
Усы Таратара дернулись вверх.
– Ну-ка, ну-ка… – сказал он и подумал: «У мальчика ломается голос. Переломный возраст. И как самоуверен… Посмотрим, выдержит ли он эту роль до конца».
Мел в руке Электроника быстро забегал по доске, и вот уже готов треугольник, окруженный квадратами.
– Простейшее доказательство теоремы есть у древнегреческого математика Евклида, – говорит скрипуче Электроник и затем за считаные секунды обрушивает на слушателей сравнение геометрических фигур. – Ученые считают, – продолжает бойко Электроник, – что это доказательство теоремы Евклид придумал сам [у Евклида эта теорема гласит: Εν τοίς όρθογώνοις τριγωνοις τό άπό τής τήν όρθήν γωνίαν ύποτεινούσης πλευρας τετράγωνον ίσον έστι τοίς άπό ιων τήύ όρθήν γωνίαν περιεχουσων πλευρων τετραγώνοις, что в дословном переводе означает: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол»]. Как известно, о Пифагоре Самосском мы почти ничего не знаем. Кроме того, что он жил в шестом веке до нашей эры, сформулировал свою теорему и был главой первой в мире математической школы. Евклид более двух тысяч лет тому назад собрал все известные ему аксиомы. Можно сказать, что он основал геометрию. Евклидова геометрия просуществовала без изменений до девятнадцатого века, пока русский ученый Лобачевский не построил новую систему.
– Правильно, – подтвердил Таратар. – Продолжай, Сережа.

левый - чертёж к доказательству Евклида
рисунок из книги про Электроника

Класс удивленно замер. Даже на последней парте, где сидят любители всевозможных развлечений, перестали играть в «морской бой».
А Электроник уже начертил три новые фигуры. Он рассказывает о том, как формулировали знаменитую теорему древние греки, индийцы, китайцы, арабы.
Таратар успел только вставить:
– В древности, ребята, теорему Пифагора знали лишь отдельные ученые, посвященные в таинства математики, теперь ее учат все.
Мел Электроника рисует и рисует. Громоздятся квадраты и треугольники, вырастают квадраты из треугольников, делятся квадраты на треугольники. Сыплются слова: «Метод сложения… Метод разложения… Метод вычитания…» Доска покрылась ровными многоугольниками, все видят чертеж паркета и удивлены тем, что это тоже доказательство теоремы Пифагора.
А Электроник подтверждает:
– Метод «укладка паркета». Так он называется.
Потом он снова строит квадраты на сторонах треугольника, делит их на равные части и обращается к слушателям с очень краткой речью:
– Здесь все рассуждения заключены в одно слово: смотрите! И вы все увидите!
Ребята разглядывают доску.
Таратар кивает головой, улыбается.
– Наконец, «стул невесты»*, – хрипло провозглашает Электроник.
Класс не выдерживает, хохочет.
– Я сказал правильно, – обернувшись, говорит Электроник. – «Стул невесты». Эту фигуру придумал не я, а индийцы, причем в девятом веке.
«Стул невесты» уже изображен на доске. Это пятиугольник, поставленный на прямой угол, с выступом для сидения наверху. Не очень-то усидишь на таком шатком стуле!
Ребята опять смеются и смолкают. Сыроежкин читает стихи [немецкого писателя-романиста А.Шамиссо]:
Пребудет вечно истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Таратар подхватывает, и они читают дальше вдвоем:
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет —
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор".
Е.С.Велтистов, "Электроник – мальчик из чемодана".

слева — богиня женственности и материнства сестра и супруга бога загробного мира Осириса Изида с сыном Гором (Хором) — богом неба, царственности и солнца, покровителем фараонов — на руках на троне; справа — самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв.

* Считается, что с этим доказательством Пифагор познакомился во время своей жизни в Египте, где оно называлось Трон Изиды.

Интересен и случай из жизни Софьи Васильевны Ковалевской, первой в Российской империи и Северной Европе женщины-профессора и первой в мире женщины — профессора математики, которая во время скитаний по бюрократическим учреждениям Петербурга как-то попала в кабинет одного чиновника, ответившего отказом на ее просьбу разрешить преподавать в университете, грубо прибавив: "У нас всегда этим занимались мужчины. Справляются они со своими обязанностями, слава богу, хорошо, и поэтому не надо нам никаких нововведений!" Возмущенная Ковалевская парировала: "Когда Пифагор открыл свою знаменитую теорему, он принес в жертву богам 100 быков. С тех пор все скоты боятся нового". Впрочем, Пифагор вряд ли мог пойти на такую жертву, т.к. был вегетарианцем, о чем сообщал в своих трудах Овидий.

Одно из самых простых, и в тоже время не тривиальных — визуальное (напоминает «стул невесты»). Разумеется некоторые математические формулы присутствуют, но они нужны всего лишь для комментирования иллюстраций. Возьмем 2 квадрата, стороны которых равны катетам (a и b соответственно) и поместим их в больший квадрат со стороной, естественно, равной a+b. Очевидно, что в нашем рисунке a² и b² — это квадраты катетов прямоугольного треугольника.

Разделим оставшуюся площадь большого квадрата на два прямоугольника. Очевидно, что у верхнего прямоугольника одна из сторон равна a. Вторая сторона легко вычисляется — это b (a+b–a). Аналогично у нижнего прямоугольника одна из сторон — это b, а вторая сторона равна a (a+b–b).

Как видим, наши прямоугольники равны — они имеют одинаковые стороны a и b. Площадь этих прямогуольников равна ab. Таким образом, площадь большого квадрата (a + b)² равна сумме площадей четырех форм внутри него: a² + b² + ab + ab или эквивалентно: (a + b)² = a² + b² + 2ab. Запомним это равенство, оно нам еще пригодится.

Теперь в каждом из наших одинаковых прямоугольников проведем диагональ и назовем ее c. Мы получили четыре прямоугольных треугольника с гипотенузой с и катетами a и b.

А теперь выполним небольшую манипуляцию. Удалим из большого квадрата малые квадраты a² и b² и повернем два внутренних треугольника так, чтобы они были были расположены вдоль краев большого квадрата. Мы получили еще один квадрат со стороной с и площадью c². Но, поскольку площадь большого квадрата (со стороной a+b) осталась неизменной, а ранее мы из этого квадрата удалили малые квадраты a² и b², то новый квадрат c² полностью занял их место. А, следовательно: a² + b² = c².

Теорема Пифагора доказана!

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии. При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему. Так, сферическая теорема Пифагора формулируется следующим образом: "Косинус гипотенузы прямоугольного сферического треугольника равен произведению косинусов его катетов". Сферическая теорема Пифагора была известна ещё средневековому (Х в.) персидскому учёному-энциклопедисту, владевшему почти всеми науками своего времени, и мыслителю Абу́ Рейхану Мухаммеду ибн Ахмеду Аль-Бируни, который вместе с тем не знал сферической теоремы косинусов, поэтому применил сферическую теорему Пифагора и теорему синусов для решения как минимум двух задач: определения разности долгот двух пунктов на поверхности Земли по их широтам и расстоянию между ними и определения расстояния между двумя пунктами на поверхности Земли по их широтам и долготам.

Гиперболический треугольник

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами a,b,c со стороной c, противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим:
chc = cha ⋅ chb,
где ch — гиперболический косинус.
Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников:
chc = cha ⋅ chb - sha ⋅ shb ⋅ cos γ,
где γ — угол, вершина которого противоположна стороне c.
Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса (chx ≈ 1 + x²/2), можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a, b и c стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.